Οι "πρώτοι" αριθμοί.

Γονική Κατηγορία: Για την Τάξη

      Βρισκόμαστε, προς το παρόν, στο σύνολο των ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ  δηλαδή το  ΙΝ  = {0,1,2,3,4,5,...}.

      Πρώτος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός , μεγαλύτερος από το 1, με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι ο εαυτός του και το 1.

Ένας τρόπος να δούμε τους πρώτους αριθμούς είναι το "Κόσκινο του Ερατοσθένους"

Δείτε το ακόλουθο βίντεο     

Να και η ίδια διαδικασία για τους αριθμούς 1 μέχρι 100.

Το σημαντικό γεγονός είναι ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί σε μορφή γινομένου που ο κάθε παράγοντας να είναι πρώτος αριθμός (και μάλιστα με μοναδικό τρόπο).

π.χ.                 26 = 2 × 13                 40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 2× 5           500 = 2× 53

 ΠΩΣ ΑΝΑΛΥΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ

 

 

Η ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων μας βοηθά στο να βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσότερων αριθμών.

      Άρα μας χρειάζεται άμεσα στην πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων.

      Αλλά θα μας βοηθήσει και αργότερα στις απλοποιήσεις παραστάσεων, στην διαχείριση των ριζών, στις πράξεις ρητών αλγεβρικών παραστάσεων (κλασμάτων), όπου αντί για αριθμούς θα έχουμε πρώτους αλγεβρικούς παράγοντες.

26s6brn

     Αν έχουμε δύο ή περισσότερους αριθμούς σε μορφή γινομένου πρώτων παραγόντων, τότε 

Το ΕΚΠ τους είναι ίσο με: το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με το μεγαλύτερο εκθέτη.
Ο ΜΚΔ τους είναι ίσος με: το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με το μικρότερο εκθέτη.

      Παράδειγμα: Αν αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τους αριθμούς 90 και 24 βρίσκουμε:                

                         90 = 2 X 3Χ 5      και            24 = 23 X 3

      Οπότε

                 το ΕΚΠ του 90 και του 24 είναι ΕΚΠ(90,24) = 23 X 32 Χ 5 = 360                                                                                                                                                     (κοινοί και μη κοινοί παράγοντες με το μεγαλύτερο εκθέτη) 

και             ο ΜΚΔ του 90 και του 24 είναι ΜΚΔ(90,24) = 2 X 3 = 6                                                                                                                                                     (μόνο οι κοινοί παράγοντες με το μικρότερο εκθέτη) . 

            Ο προσφορότερος τρόπος εύρεσης του Ε.Κ.Π. είναι η ταυτόχρονη ανάλυση σε πρώτους αριθμούς, αφήνοντας για το επόμενο βήμα ίδιους όσους αριθμούς δεν διαιρούνται, μέχρι να φτάσουν όλοι στο 1.